Abordagem Construtivista Da Aprendizagem Da Matemática

Tanto as respostas corretas como incorretas podem disfarçar a verdadeira aprendizagem dos alunos! Respostas incorretas podem representar bons raciocínios, mesmo que baseados em conceitos errados. Respostas corretas, especialmente repetições das palavras do manual ou do professor, podem mascarar falhas de compreensão da Matemática subjacente. Porque é que os alunos substituem as suas próprias estratégias pelas ensinadas pelo professor ou recorrem a regras, fórmulas e definições? Talvez parte da resposta esteja na natureza da Matemática. A abstração da Matemática não é compartilhada por nenhuma outra disciplina. Embora os seus modelos possam ser usados para ajudar a explicar o mundo real, nenhuma correspondência biunívoca pode ser estabelecida entre os exemplos da vida real e os modelos matemáticos respectivos.

A Matemática é também fortemente hierarquizada. Se um aluno tem uma concepção errônea acerca de uma parte desta cadeia lógica, então os bloqueios subseqüentes da aprendizagem parecem aumentar de complexidade. Assim, na medida em que a Matemática difere de outras disciplinas, também a sua aprendizagem tem uma natureza diferente. Um exemplo óbvio vem-nos à idéia. Embora a Matemática tenha uma linguagem especial, não é propriamente uma língua estrangeira.

Em Matemática, é preciso mais do que traduzir uma expressão para a linguagem corrente. Por vezes, os alunos não percebem esta diferença e contentam-se quando são capazes de debitar fórmulas e definições em resposta às questões do professor. Inversamente, os alunos que inventam falsos algoritmos podem ter dificuldades com o caráter abstrato da Matemática. Quando as conexões estabelecidas pelo professor são remotas ou irrelevantes do ponto de vista dos alunos, aqueles que tentam aprender inventam as suas próprias conexões.

A orientação que se dá para a Educação Matemática certamente depende de concepções sobre a natureza do conhecimento matemático (tomado aqui num sentido bem amplo) e de como acontece o desenvolvimento cognitivo do ser humano.

A Matemática, como área de conhecimento, apresenta duas características distintas:

• É ferramenta para o entendimento de problemas nas mais variadas áreas do conhecimento. Fórmulas, teoremas e, mais geralmente, teorias matemáticas são usados na resolução de problemas práticos e na explicação de fenômenos nas mais variadas áreas do conhecimento. Neste sentido, o aspecto importante é a aplicabilidade da Matemática.

• É desenvolvimento de conceitos e teoremas que vão constituir uma estrutura matemáticas. O objetivo é a descoberta de regularidades e de invariantes, cuja evidência se estabelece pela demonstração baseada no de raciocínio lógico e mediado tão somente pelos axiomas de fudamentação da estrutura e teoremas já destes deduzidos. É investigação no plano puramente matemático.

Na história do desenvolvimento da Matemática estas características estão em permanente relação. A partir de busca de solução de problemas em outras áreas de conhecimento, surge o desenvolvimento de Matemática de caráter puramente abstrato. E desenvolvimentos puramente teóricos, acabam apresentando-se como ferramentas para tratabilidade de problemas em outras áreas de conhecimento. A história da evolução da Geometria nos mostra bem este duplo aspecto da Matemática. Na Antigüidade surge como ciência prática na solução de problemas de medidas; com os gregos torna-se conhecimento de caráter abstrato, tomando como ponto de partida axiomas indiscutíveis sob o ponto de vista intuitivo, inspirados que são pelo mundo físico; com as geometrias não-euclidianas, no século XIX, tem-se o caráter abstrato ao extremo, já que os axiomas aceitos não se baseiam mais na intuição imediata; e finalmente tem-se a aplicação destas geometrias no entendimento de problemas da física.

No processo educativo estes dois aspectos da Matemática devem ser enfatizados igualmente. Um dos grandes desafios para os educadores matemáticos é encontrar os caminhos que levem seus alunos a apropriarem-se deste conhecimento. E para isto, questões de ordem cognitiva merecem uma análise.

A teoria de desenvolvimento cognitivo proposta por J. Piaget, ajuda a compreender que o pensamento matemático não é, em essência, diferente do pensamento humano mais geral, no sentido de que ambos requerem habilidades como intuição, senso comum, apreciação de regularidades, senso estético, representação, abstração e generalização, etc. A diferença que pode ser considerada é no universo de trabalho: na Matemática os objetos são de caráter abstrato e são rigorosos os critérios para o estabelecimento de verdades.

Os estudos de Piaget evidenciam já nos primeiros anos de vida os primórdios destas habilidades. Sua teoria procura explicar o complexo processo através do qual se dá o desenvolvimento das funções cognitivas da inteligência. Através de suas cuidadosas observações e entrevistas clínicas, ‘disseca’ os diversos estágios deste processo, mostrando a contínua evolução das estruturas mentais, e cujo estado mais avançado se caracteriza pelo pensamento formal abstrato.

Para melhor entendimento do processo evolutivo das estruturas cognitivas, Piaget destacada três estágios básicos. Na construção dos primeiros esquemas de natureza lógico-matemática as crianças se apóiam em ações sensório-motoras sobre objetos materiais e através de exercícios de repetição espontânea chegam ao domínio e generalização da ação (estágio pré-operatório). O segundo estágio caracteriza-se pelo aparecimento das operações, as ações em pensamento; mas nesta fase as crianças ainda dependem dos objetos concretos para que as ações se constituam em conceitos (estágio operatório concreto). E finalmente atingem o estágio das operações sobre objetos abstratos, já não dependendo mais de ações concretas ou de objetos concreto; é a constituição do pensamento puramente abstrato.

O que se quer destacar é o quanto o processo de aprendizagem se baseia na ação do sujeito; inicialmente, as ações concretas sobre objetos concretos respondem pela constituição dos esquemas, e no último estágio, as ações abstratas (operações) sobre objetos abstratos respondem pela constituição dos conceitos. Diz Piaget (1974):

“só falaríamos de aprendizagem na medida em que um resultado (conhecimento ou atuação) é adquirido em função da experiência , essa experiência podendo ser do tipo físico ou do tipo lógico-matemático ou os dois.”

Já no primeiro estágio de desenvolvimento, na construção e coordenação de esquemas evidencia-se o uso de regras muito próximas a da lógica – associação (união), generalização (inclusão), restrição (interseção). Percebe-se uma construção espontânea de estruturas lógico -matemáticas, que se aproximam das utilizadas no desenvolvimento do conhecimento matemático. É a gênese do pensamento lógico-matemático, que se apresenta na forma de generalização de ações e coordenação de esquemas.

É esclarecedor o que diz Piaget (1973), particularmente no contexto da Educação Matemática:

“O papel inicial das ações e das experiências lógico matemáticas concretas é precisamente de preparação necessária para chegar-se ao desenvolvimento do espírito dedutivo, e isto por duas razões. A primeira é que as operações mentais ou intelectuais que intervém nestas deduções posteriores derivam justamente das ações: ações interiorizadas, e quando esta interiorização, junto com as coordenações que supõem, são suficientes, as experiências lógico matemáticas enquanto ações materiais resultam já inúteis e a dedução interior se bastará a si mesmo. A segunda razão é que a coordenação de ações e as experiências lógico matemáticas dão lugar, ao interiorizar-se , a um tipo particular de abstração que corresponde precisamente a abstração lógica e matemática”.

Todo o processo é permeado pelo desenvolvimento, concomitante, da função representativa; é a representação mental que permite a transição da ação sensório-motora à ação abstrata. Os esquemas evoluem para conceitos e as ações para operações através da tomada de consciência, definida por Piaget como a reconstituição conceitual do que tem feito a ação. Becker (1997), a luz da teoria de Piaget, diz:

“É fácil vislumbrar o que isto significa para a aprendizagem. O esquema, generalização no plano da ação concreta, poderá mediante progressivas tomadas de consciência, tornar-se conceito, generalização no plano mental ou intelectual. Dos limites do real passa-se ao possível…”

Os desequilíbrios entre experiência e estruturas mentais é que fazem o sujeito avançar no seu desenvolvimento cognitivo e conhecimento, e Piaget procura mostrar o quanto este processo é natural. O novo objeto de conhecimento é assimilado pelo sujeito através das estruturas já constituídas, sendo o objeto percebido de uma certa maneira; o ‘novo’ produz conflitos internos, que são superados pela acomodação das estruturas cognitivas, e o objeto passa a ser percebido de outra forma. Neste processo dialético é construído o conhecimento. O meio social tem papel fundamental na aceleração ou retardação deste desenvolvimento; isto se evidencia na decalagem de estruturas cognitivas que apresentam indivíduos que vivem em meios culturalmente pobres.

Na formação matemática dos alunos, além de pretender-se a construção de uma sólida base de conhecimento na área, deve-se estar atento para a riqueza intelectual que decorre do constante desenvolvimento cognitivo do sujeito quando a ele propicia-se imersão no processo do ‘fazer matemática’, que nada mais é que o processo dinâmico ‘assimilação versus acomodação’ de construção simultânea de conhecimento matemático e de estruturas mentais. Fischbein (1994) diz:

“Axiomas, definições, teoremas e demonstrações devem ser incorporados como componentes ativos do processo de pensar. Eles devem ser inventados ou aprendidos, organizados, testados e usados ativamente pelos alunos. Entendimento do sentido de rigor no raciocínio dedutivo, o sentimento de coerência e consistência, a capacidade de pensar proposicionalmente, não são aquisições espontâneas. Na teoria piagetiana todas estas capacidades estão relacionadas com a idade – o estágio das operações formais. Estas capacidades não são mais do que potencialidades que somente um processo educativo é capaz de moldar e transformar em realidades mentais ativas.”

 

Se por um lado a teoria de Piaget mostra uma continuidade, em princípio natural, na formação das estruturas cognitivas, desde os primeiros esquemas até as estruturas que respondem pelo pensamento formal abstrato, por outro lado o processo de ensino e aprendizagem que se tem institucionalizado não leva em consideração esta ‘naturalidade’. A partir do momento que as crianças ingressam na escola, no geral, são privadas de suas ações e experiências de caráter concreto, e mais adiante de caráter abstrato, reforçando-se ao longo dos anos de vida escolar o papel de receptores passivos de informação. Esta ruptura pode explicar os baixos níveis de pensamento abstrato com que os alunos chegam ao ensino superior. Gravina (1996) registra:

“… os alunos chegam à universidade sem terem atingido os níveis mentais da dedução e do rigor. Raciocínio dedutivo, métodos e generalizações – processos característicos e fundamentais da Geometria – os alunos pouco dominam. Até mesmo apresentam pouca compreensão dos objetos geométricos, confundindo propriedades do desenho com propriedades do objeto”.

Moore (1994), em sua pesquisa sobre obstáculos frente a demonstração de teoremas, identifica algumas causas: imagens mentais inadequadas, pouco entendimento dos conceitos, pouco domínio da linguagem e notação matemática.

Fala-se em processo de ensino e aprendizagem construtivista, entendendo-se uma metodologia de trabalho, ainda um tanto vaga e imprecisa, que procura colocar-se em sintonia, principalmente, com princípios da teoria de Piaget. Mas de fato, não tem-se ainda estabelecida, dentro das teorias da Educação, uma sólida base teórica do que seria uma ‘pedagogia construtivista’. Pesquisas na área de Educação Matemática tem se preocupado com estas questões, mas ainda poucos são os reflexos na prática educativa. Estas pesquisas apontam para princípios norteadores do que seria uma ‘pedagogia construtivista’:

“É necessário que o professor de matemática organize um trabalho estruturado através de atividades que propiciem o desenvolvimento de exploração informal e investigação reflexiva e que não privem os alunos nas suas iniciativas e controle da situação. O professor deve projetar desafios que estimulem o questionamento, a colocação de problemas e a busca de solução. Os alunos não se tornam ativos aprendizes por acaso, mas por desafios projetados e estruturados, que visem a exploração e investigação” (Richards, 1991)

“Um dos maiores problemas na educação decorre do fato que muitos professores consideram os conceitos matemáticos como objetos prontos, não percebendo que estes conceitos devem ser construídos pelos alunos… De alguma maneira os alunos devem vivenciar as mesmas dificuldades conceituais e superar os mesmos obstáculos epistemológicos encontrados pelos matemáticos… Solucionando problemas, discutindo conjeturas e métodos, tornando-se conscientes de suas concepções e dificuldades, os alunos sofrem importantes mudanças em suas idéias…” (Vergnaud, 1990)

“Na educação a preocupação principal deveria ser a construção de esquemas para o entendimento de conceitos. O ensino deveria se dedicar a induzir os alunos a fazerem estas construções e ajudá-los ao longo do processo… Aprender envolve abstração reflexiva sobre os esquemas já existentes, para que novos esquemas se construam e favoreçam a construção de novos conceitos…Um esquema não se constroe quando há ausência de esquemas pre-requisitos…” (Dubinsky, 1991)

Para o estabelecimento de uma ‘pedagogia construtivista’ duas das principais questões, intimamente relacionadas, a serem enfocadas são:

• Quanto ao aspecto matemático: como projetar atividades que façam com que os alunos se apropriem de idéias matemáticas profundas e significativas (e que exigiram de matemáticos altamente qualificados alguns anos para serem concebidas e estruturadas)?

• Quanto ao aspecto cognitivo: como fazer para que estas atividades coloquem os alunos em atitudes sintonizadas com os processos que são naturais ao desenvolvimento cognitivo do sujeito?

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